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Nemesis2k
per-pixel lighting 纹理空间坐标基的计算方法
我知道的几种方法：
1. 对于参数化的表面，设其方程为 P = P (u, v)，其中 P 为向量，
三个分量分别为 x, y z。也可以表示为：
Px = Px (u ,v)
Py = Py (u ,v)
Pz = Pz (u ,v)
那在任意一个顶点
T = {dPx/du, dPy/du, dPz/du}
B = {dPx/dv, dPy/dv, dPz/dv}
N = T X B
然后把 T, B, N 归一化就行了。
这里的偏导数可以用差分计算。
这样计算出来的切空间是在每一个顶点的切空间。
2。对于由三角形面片组成的网格，在 MSDN 上的 Per-pixel lighting
文章里介绍了一种方法。
设三角形的三个顶点是 P0, P1, P2，其中每个顶点都有位置，法向量
和 2-D 纹理坐标。
Pi : {x, y, z}, {nx, ny, nz}, {s, t}
现在我们要计算在 P0 点的切空间。
这里要分辨两个切空间：
1）顶点上的切空间
2）三角形面片上的切空间
两个切空间是相同的吗？我觉得是不同的。方法 2 和方法 3 计算出来的
实际上都是三角形面片的切空间，顶点的切空间还要通过平均顶点所在
各个三角形面片的切空间基向量来计算。（是这样的吗？高手指教一下！）
设三角形面片所在的切空间的基向量为 T, B, N，坐标原点在 P0。
那么三角形面片中的任意向量应该可以表示为：
Vec = x*T + y*B
因此，如果我们找到了两个向量 Vec1, Vec2 以及它们在 T, B 上的
分量，那么自然就可以解出 T, B 了。
令：
Vec1 = P1 - P0
Vec2 = P2 - P0
dS1 = P1.s - P0.s
dS2 = P2.s - P0.s
dT1 = P1.t - P0.t
dT2 = P2.t - p0.t
那么我们有
Vec1 = dS1*T + dT1*B (1)
Vec2 = dS2*T + dT2*B (2)
联立 (1), (2) 就可以解出
B*(dS2*dT1 - dS1*dT2) = (dS2*Vec1 - dS1*Vec2)
所以：
(dS2*dT1 - dS1*dT2) 是一个常数，反正我们之后要对 B 归一化，
可以不用管它。于是：
B = normalize(dS2*Vec1 - dS1*Vec2) 这就是 MSDN 里那篇文章里的方法。
B 可以通过解方程获得，但是 T 就不行了，因为这样解出来的 T 和
B 不一定垂直。怎么处理呢？
MSDN 中的方法是，利用顶点的 N 来求 T：
T = B X N
然后再求 N
N = T X B
但是这样可以吗？这里的 N 是顶点 P0 的 N，而不是三角形面片的 N。
是不是这样求出来的 T, N, B 恰好是顶点 P0 的切空间的坐标基，不需要
再平均了？（高手指教！）
我想的处理方法是这样的：
同样解出 T 来：
T = normalize(dT2*Vec1 - dT1*Vec2)
然后 N = T X B。这个 N 是三角形面片的 N。
然后 T = B X N。这样 T, N, B 构成正交基，而且是三角形面片的。
要计算 P0 顶点的切空间基，还需要平均多个面片。
这种方法到是比较复杂。
一个问题是，为什么有
Vec1 = dS1*T + dT1*B (1)
Vec2 = dS2*T + dT2*B (2)
这两个公式！
我想是因为在计算顶点的纹理坐标时，因为是从平面映射到平面，所以我们使用了
仿射变换：
s = as*x + bs*y + cs
t = as*x + bs*y + cs
反过来我们有
x = ax*s + bx*t + cx (3)
y = ay*s + by*t + cy (4)
z = az*s + bz*t + cz (5)
于是
Vec1.x = P1.x - P0.x = ax*(P1.s - P0.s) + bx*(P1.t - P0.t)
Vec1.y = P1.y - P0.y = ay*(P1.s - P0.s) + by*(P1.t - P0.t)
Vec1.z = P1.z - P0.z = az*(P1.s - P0.s) + bz*(P1.t - P0.t)
于是
Vec1 = {ax, ay, az}*dS1 + {bx, by, bz}*dT1
这和 (1) 已经很象了，那么 {ax, ay, az} 就是 T 吗？
答案是是的！事实上 (3), (4), (5) 就是三角形面片的参数表示，那么
T = {dx/ds, dy/ds, dz/ds} = {ax, ay, az}
B = {dx/dt, dy/dt, dz/dt} = {bx, by, bz}
也就是说，如果我们能直接把 ax, ay, az, bx, by, bz 求出来，T 和 B 就求出来了
（当然要把他们正交归一化）
3 nVidia 网站上的方法。
我们可以假设
x = ax*s + bx*t + cx
y = ay*s + by*t + cy
z = az*s + bz*t + cz
如何求解 (3) ？这里有 3 个未知数，那我们需要 3 个方程。
将 3 个顶点的属性 {x, y ,z}, {s, t} 带入，刚好有三个方程：
P0.x = ax*P0.s + bx*P0.t + cx (1)
P1.x = ax*P1.s + bx*P1.t + cx (2)
P2.x = ax*P2.s + bx*P2.t + cx (3)
解出来就得到 ax, bx, cx 了。
同理可得： ay, by, cy, az, bz, cz。
T = {ax, ay, az}
B = {bx, by, bz}
N = T X B
T = B X N
然后都归一化即可。
nVidia 网站上的方法呢，是建立三个平面方程
Ax*x + Bx*s + Cx*t + Dx = 0 (4)
Ay*y + By*s + Cy*t + Dy = 0 (5)
Az*z + Bz*s + Cz*t + Dz = 0 (6)
并且指出，三角形面片上的所有点的 (x, s, t) 都在
方程 (4) 定义的平面中。那么
dx/ds = -Bx/Ax
dx/dt = -Cx/Ax
同理
dy/ds = -By/Ay
dy/dt = -Cy/Ay
dz/ds = -Bz/Az
dz/dt = -Cz/Az
那么这些 Ax, Ay, Az, Bx, By, Bz, Cx, Cy, Cz 怎么求呢？
容易知道，{Ax, Bx, Cx} 其实是平面的法向量，那么可以
选平面中的三个点，计算出两个向量，然后叉乘。
{Ax, Bx, Cx} = {P1.x - P0.x, P1.s - P0.s, P1.t - P0.t} X
{P2.x - P0.x, P2.s - P0.s, P2.t - P0.t}
这两种方法是等价的。
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